Twijfelen aan de Werkelijkheid (43)
Calculemus - Laten we het uitrekenen!
In 1673 demonstreerde de universele geleerde Godfried Wilhelm Leibniz (1645 - 1716) voor de Royal Society in Londen het ontwerp van een rekenmachine, een apparaat dat bedoeld was om wiskundige problemen op te lossen door middel van het uitvoeren van logische redeneerstappen. Leibniz was niet alleen wiskundige, filosoof en historicus maar ook diplomaat. Hij droomde van rationele manieren om conflicten te beslechten. In plaats van onophoudelijk redetwisten of zelfs overgaan tot geweld stelde hij zich voor dat mensen als ze het met elkaar oneens waren simpelweg hun rekenapparaten te voorschijn zouden halen en het adagium ‘Calculemus’ (‘Laten we het uitrekenen’) zouden volgen. Vanaf dat moment werden er rekenmachines geconstrueerd die inderdaad zeer bruikbaar bleken om het rekenen en redeneren te vereenvoudigen.
Waren er grenzen aan het mechaniseren van het rekenen en redeneren? De beroemde wiskundige David Hilbert (1862 - 1943) meende van niet. Aan het begin van de twintigste eeuw formuleerde hij een uitdaging voor de wiskunde: Vind een systematische methode om oplossingen voor wiskundige problemen die geformuleerd zijn in een precieze logische taal mechanisch uit te rekenen. Dit werd bekend als Hilbert’s programma. Het bestond uit de volgende programmapunten:
Alle bestaande wiskunde formuleren in een precieze logische taal.
Bewijzen dat alle ware wiskundige uitspraken in dit formalisme kunnen worden afgeleid. Dit heet: volledigheid van het formalisme.
Bewijzen dat er binnen het systeem geen contradictie kan worden afgeleid. Dit heet: consistentie van het formalisme.
Bewijzen dat wiskundige resultaten over “ideale objecten” zoals overaftelbare verzamelingen (verzamelingen die zo groot zijn dat je hun elementen niet kunt tellen) kunnen worden afgeleid zonder gebruik te maken van ideale objecten. Dit heet: conservatie.
Een algoritme (een programmeerbare methode die na een eindig aantal stappen gegarandeert stopt) vinden om het waar of onwaar zijn van een willekeurige wiskundige bewering te beslissen. Dit heet: beslisbaarheid.
Wiskundigen gingen hiermee voortvarend aan de slag. Bertrand Russell en Alfred North Whitehead schreven een lijvige Principia Mathematica in drie delen waarin ze een briljante demonstratie gaven van hoe grote delen wiskunde konden worden geherformuleerd in een logische formuletaal. Totdat in 1930 een jonge wiskundige, Kurt Gödel (1906 – 1978), roet in het eten gooide. Gödel liet met een zeer ingenieus bewijs zien dat het programma van Hilbert onuitvoerbaar was.
Er bleken grenzen te zijn aan wat je in een formele theorie kunt bewijzen. En die grenzen zijn eerder bereikt dan je denkt. Zelfs voor het gewone rekenen met getallen \(0, 1, 2, 3, \ldots\) met de operaties van optellen en vermenigvuldigen (wiskundigen zeggen: het rekenen met de natuurlijke getallen) geldt dat er in welk formeel systeem ook altijd voorbeelden te vinden zijn van beweringen over natuurlijke getallen die waar zijn maar die in het systeem niet kunnen worden bewezen. Dit heet: de onvolledigheid van de rekenkunde.
Later bleek dat er ook geen beslissingsmethode is voor het rekenen met natuurlijke getallen. Of preciezer: de algemene eerste-orde theorie van de rekenkunde uitgedrukt in de axioma’s van Peano kan niet worden beslist met een algoritme. Met andere woorden, er valt geen computerprogramma te schrijven dat met behulp van de Peano axioma’s voor elke willekeurige rekenkundige bewering in eindig veel tijd kan beslissen of die bewering waar is of niet. Dit onbeslisbaarheidsresultaat (uit 1936) hebben we te danken aan Alonzo Church (1903 - 1995) en Alan Turing (1912 - 1954). Heel veel wiskundige problemen bleken onbeslisbaar te zijn.
De Rekentoets
De hoop van Godfried Wilhelm Leibniz om met mechanisch redeneren conflicten te beslechten is voorgoed vervlogen. Maar rekenen kan ons nog steeds heel erg helpen om heldere inzichten te krijgen.
Helaas, goed rekenen is zo eenvoudig niet. In 2010 werd in Nederland de verplichte rekentoets voor middelbare scholen ingevoerd, na klachten van bedrijfsleven, universiteiten en hogescholen over het gebrek aan rekenvaardigheid bij jongeren. In het schooljaar 2014/2015 werd de toets voor het eerst afgenomen in het voortgezet onderwijs. Helaas werd de toets door veel scholieren heel erg moeilijk gevonden. Als compromis werd besloten dat iedereen de toets moest maken maar dat het cijfer niet meetelde voor de examenuitslag. Daarmee kwam de klad erin. Want van tweeën een: als die rekenvaardigheden van belang zijn en de toets nuttig is, waarom telt ie dan niet mee? En als het met die rekenvaardigheden wel meevalt, waarom dan die toets?
In feite viel het met de rekenvaardigheden helemaal niet mee en was het probleem met de toets juist dat het voor veel scholieren een onoverkomelijk struikelblok bleek te zijn. Ook hadden deskundigen zoals mijn UvA collega professor Jan van de Craats fundamentele kritiek op de toets: volgens hem was het een intelligentietest in plaats van een toets die rekenvaardigheid meet.
Hoe dan ook, om correct te leren rekenen is goede scholing nodig. En wat je daar weer voor nodig hebt zijn basisschool-docenten die zélf goed kunnen rekenen. Toen onze dochters nog op de basisschool zaten heb ik het met hun docenten weleens over rekenen gehad, en die gesprekken stemden mij niet optimistisch. Zelfs de directeur bleek niet goed te kunnen rekenen. Vier gedeeld door eenvierde was voor haar een te moeilijke som.
De toets bleek overigens ook te zwaar voor leden van onze volksvertegenwoordiging. Het is dan ook niet verwonderlijk dat de Tweede Kamer in 2019 besloten heeft om de rekentoets weer af te schaffen. Misschien deugde die toets inderdaad niet. Maar het is denk ik ook waar dat de meeste leden van onze volksvertegenwoordiging niet goed kunnen rekenen. En dat is heel erg jammer, nu goed kunnen rekenen van levensbelang is geworden.
Goed rekenen kun je leren
Ook over het invoeren van een nieuwe rekenmethode werden we het op de basisschool van Gaia en Rosa niet eens. Ik heb destijds geprobeerd de school in contact te brengen met Jan van de Craats die zich sterk maakte voor goed rekenonderwijs en die een sterk verbeterde rekenmethode, Reken zeker, aanbeval. Hierin wordt het beste uit traditioneel rekenen en realistisch rekenen gecombineerd. Helaas, ze hadden er geen oren naar.
Ik heb toen een jaar of wat op woensdagmiddagen een rekenclub gerund voor Gaia en Rosa en een paar van hun klasgenootjes. Daar oefenden we traditioneel rekenen, met behulp van het Basisboek Rekenen van Jan van de Craats en Rob Bosch. Zeer aanbevolen, trouwens, voor iedereen die goed wil leren rekenen, want daarvoor is het nooit te laat.
Maar we rekenden ook realistisch. We rekenden dan bij voorbeeld de soortelijke massa uit van een stenen olifantje, met hulp van een maatbeker om het volume te bepalen en een brievenweger voor het gewicht. Of ik vertelde het verhaal van de onderdaan die aan de Chinese keizer als beloning voor bewezen diensten een rijstkorrel vroeg op het eerste veld van zijn schaakbord, twee op het tweede, vier op het derde, acht op het vierde, en zo door tot aan het 64ste veld. De vraag waar we dan mee begonnen was: “Wat denken jullie, waarom zei de keizer eerst ‘accoord’? Denken jullie dat het veel is, wat de onderdaan vroeg? Hmm. Maar waarom gaf de keizer daarna dan opdracht om die onderdaan te onthoofden?”
En dan volgden we het voorbeeld van Leibniz: calculemus, laten we gaan rekenen. Hoeveel weegt een rijstkorrel, en hoe kom je daar achter met een pak rijst en een brievenweger? Tweehonderd rijstkorrels aftellen en op de brievenweger leggen, en de uitkomst delen door tweehonderd. Dan uitrekenen hoeveel korrels er in een kilopak rijst gaan. En dan aan de slag met rekenen over de korrels op het schaakbord. Uitrekenen hoeveel kilopakken rijst er op een twintigtonner vrachtwagen gaan. Uitrekenen hoeveel vrachtwagens nodig zouden zijn voor de rijst op het 64ste veld van het schaakbord. Gaia en Rosa hebben daarna nooit moeite gehad met de rekentoets in het middelbaar onderwijs.
Hoe gevaarlijk is ongevaccineerd zijn?
The Guardian plaatste op 30 november 2021 een lang artikel over het tragische overlijden van een fitness fanaat die niet ingeënt wenste te worden: The life and tragic death of John Eyers – a fitness fanatic who refused the vaccine.
Dit artikel geeft ook interessante cijfers. The Guardian vermeldt dat de kans van een 40 jarige om te overlijden aan COVID-10 in het VK 1 op 1490 is. Maar ook: het overlijdensgevaar voor niet-gevaccineerden is 32 keer zo hoog als voor gevaccineerden.
Laten we hier even mee rekenen. Neem aan dat 80 procent van de 40 jarigen in het VK intussen gevaccineerd is. Kans op overlijden even omrekenen geeft 1 op 1490 is gelijk aan 33 op 49170. Van die 33 covid-doden is er dus 1 gevaccineerd en zijn er 32 niet gevaccineerd, vanwege de 32 keer hogere sterftekans voor ongevaccineerden. De 32 ongevaccineerden komen uit 20 procent van de 49170, want de overige 80 procent zijn gevaccineerd. Dus de sterftekans voor een ongevaccineerde 40-er in de UK die COVID-19 oploopt is 32 op 9834, dat wil zeggen ongeveer 1 op 307 van de ongevaccineerden, dus veel meer dan 1 op 1490 van de hele populatie.
De ene gevaccineerde die overlijdt komt uit 80 procent van de 49170, want dat waren de gevaccineerden. Dus de sterftekans van een gevaccineerde 40-er in de UK die COVID-19 oploopt is 1 op 39336 van de gevaccineerden, dus veel minder dan 1 op 1490 van de hele populatie.
Of je gevaccineerd bent of niet is je eigen keuze. Wat zijn de risico’s van vaccinatie? Het artikel geeft ook de kans op dodelijke complicaties ten gevolge van vaccinatie. Die is 77 op 42,3 miljoen, dat wil zeggen ongeveer 1 op 549350 (ruwweg één op een half miljoen).
Rekenen heeft niets met politiek te maken. Iemand die dit goed doorheeft is de Portugese viceadmiraal Henrique Gouveia e Melo die de Portugese vaccinatiecampagne heeft geleid: “Hou de politiek erbuiten, en leg helder uit hoe de zaken ervoor staan.”
Als we de cijfers van de Guardian even als uitgangspunt nemen, dan staan de zaken er volgens Gouveia e Melo zo voor: Iedereen kan kiezen uit twee routes. Langs allebei die routes is een sluipschutter actief. Langs de route van de ongevaccineerden wordt één op de driehonderd passanten doodgeschoten. Langs de route van de gevaccineerden wordt één op de veertigduizend passanten getroffen door een dodelijk schot. Welke route kies je? Deze communicatie heeft kennelijk geholpen, want intussen is ongeveer 98 procent van de Portugese bevolking boven de 12 jaar gevaccineerd. Portugal heeft nu de hoogste vaccinatiegraad van Europa.
Als de ongevaccineerden zouden kunnen rekenen zouden ze eieren kiezen voor hun geld. En als de communicatie over COVID-19 vaccinatie in Nederland in handen zou zijn van iemand van het statuur van Gouveia e Melo dan zouden we hier nu niet tegen code zwart aanzitten. Want zolang we terugdeinzen voor vaccinatiedwang is glasheldere communicatie het enige middel dat we hebben tegen de antivax onzin die mensen ervan weerhoudt om hun prikken te halen.