Twijfelen aan de Werkelijkheid (19)
Je kunt deze serie vanaf het begin lezen, maar dat hoeft absoluut niet. Voor goed begrip van het verhaal van vandaag is het wel handig als je nog even de vorige aflevering bekijkt.
Gaat het nog wel goed met deze reeks?
Gisteren sprak Heleen me aan over mijn tekst van vorige keer. Ze las het verhaal hardop voor, en gaf lopend commentaar op alle punten waar voor haar het betoog niet te volgen was. Dat waren er nogal wat. Even schrikken voor mij dus. Het Tangram plaatje over de Stelling van Pythagoras kon ze waarderen, maar bij de formules haakte ze helemaal af.
Kon het niet helemaal met alleen maar plaatjes en goedgekozen beeldspraak? En wat was mijn pointe? Waar was die wiskunde nou helemaal goed voor? Wat had dit met filosoferen over de werkelijkheid te maken? Waarom moesten we geïnteresseerd zijn in gedoe rond de lichtsnelheid? Kunnen de afleveringen niet wat korter, trouwens? Vraagt je niet teveel van je afgepeigerde en gestresste lezerspubliek?
Helemaal eerlijk vond ik het niet, want Heleen gaat zelf tot het gaatje om haar leerlingen vertrouwd te maken met muzieknotatie. Kijk maar naar dit mooie oefenboek dat ze net heeft gemaakt. Wat notenschrift is voor muziek is wiskundige notatie voor natuurkunde. En ook voor logica trouwens. Kanttekening hierbij van Heleen: notenschrift leren is voor liefhebbers, en niet iets om mensen door de strot te duwen. Je kunt heel goed muziek maken zonder noten te kunnen lezen. Dan zou je toch ook filosofie moeten kunnen doen zonder wiskundige notatie te snappen?
Relativiteit van beweging begrijpen
Hmm, de vragen die Heleen stelt zijn allemaal heel goede vragen. De pointe die ik probeerde te maken is dat er eigenlijk maar heel weinig wiskunde nodig is om de relativiteitstheorie van Albert Einstein uit te leggen. Dat was dus niet helemaal aan Heleen besteed. Nu ja. Wat de één een beetje wiskunde vindt is voor de ander al veel te veel.
Wat ik probeerde over te brengen is dat het begrijpen van relativiteit van beweging betekent dat je iets wezenlijks snapt over hoe de natuur werkt. Daarmee krijg je iets meer inzicht in hoe de werkelijkheid in elkaar zit. In feite is Albert Einstein niet alleen natuurkundige maar ook (natuur)filosoof.
Er loopt een lijn van Pythagoras via Euclides, Galileo, Descartes en Newton naar Einstein. Van Euclides weet ik het niet, maar de anderen waren allemaal grote muziekliefhebbers en/of kundige musici. Pythagoras was muziektheoreticus, Galileo speelde virtuoos clavecimbel en luit, Descartes componeerde, Newton schreef een verhandeling “Of Musick”, Einstein speelde viool en was bevriend met de bevlogen muziekpedagoog Shinichi Suzuki (1898 – 1998), bedenker van de Suzuki methode.
Wiskunde zonder formules?
Met alleen leuke plaatjes en mooie vergelijkingen wiskunde en natuurkunde uitleggen? Heleen noemde ook nog Robbert Dijkgraaf. Die kan dat toch ook? Daarmee raakte ze voor mij een pijnpunt. Lang geleden heb ik eens vlak na Robbert gesproken op een congres “Leve de wiskunde”. Toen Robbert het woord nam wist ik het al. Hij ging me geheel overklassen. Zijn praatje was grappig, luchtig, briljant. Hij had leuke voorbeelden. Hij liet goed gekozen animaties zien met zijn laptop. Er kwam geen formule in voor. De toehoorders hingen aan zijn lippen.
Daarna moest ik nog. Bij mijn eerste formule begon het geroezemoes. Mijn praatje was te serieus. Te zwaar. Met te weinig grapjes erin. Ik had mijn dag niet. Ik had slecht geslapen. Ik probeerde teveel uit te leggen aan een publiek dat daar aan het eind van de middag he-le-maal geen zin meer in had.
In de tussentijd heb ik bijgeleerd en dit traumaatje heb ik een beetje verwerkt, maar wiskunde alleen met plaatjes uitleggen aan een algemeen publiek, dat lukt me nog steeds niet. Robbert Dijkgraaf kan dat trouwens ook niet, maar die is zo slim dat hij het niet eens probeert. En Heleen staat aan de kant van Robbert.
En toch…
En toch… Vorige keer gaf ik twee bewijzen voor de Stelling van Pythagoras, een Tangram plaatjesbewijs en een bewijs met algebra. Voor de situatie in het platte vlak werkt een Tangram plaatjesbewijs prima. Maar bij de versie in drie dimensies hebben we de algebra nodig. En bij de generalisering naar ruimtetijd komen we zonder formules echt nergens, want daar is het juist de algebra die suggereert waar het heen moet.
Galileo Galilei zei al dat het boek van de natuur is geschreven in de taal van de wiskunde:
De filosofie is geschreven in dat grootse boek dat voortdurend voor onze ogen geopend staat (ik bedoel het heelal), maar dat niet begrepen kan worden zonder vooraf de taal te begrijpen en de lettertekens te herkennen waarmee het geschreven is. Het is in de taal der wiskunde geschreven, en zijn lettertekens zijn driehoeken, cirkels, en andere meetkundige figuren. Zonder hen is het voor een mens onmogelijk er een woord van te verstaan en doolt men doelloos in een donker labyrint rond.
Galileo Galilei, Il Saggiatore (De keurmeester), 1623
Grappig dat Galileo “filosofie” zegt waar wij “natuurwetenschap” zouden zeggen. In zijn tijd lagen die vakken nog heel dicht bij elkaar. Intussen zijn we met behulp van wiskunde nog veel verder doorgedrongen in het begrijpen van de natuurkundige werkelijkheid. Maar waarom het zo is dat wiskunde ons toegang geeft tot de natuur, dat is voor iedereen nog steeds een raadsel.
De natuurkundige (en Nobel-prijswinnaar) Eugene Wigner (1902 - 1995) heeft dat mooi verwoord.
The miracle of the appropriateness of the language of mathematics for the formulation of the laws of physics is a wonderful gift which we neither understand nor deserve. We should be grateful for it and hope that it will remain valid in future research and that it will extend, for better or for worse, to our pleasure, even though perhaps also to our bafflement, to wide branches of learning.
Het wonder van de geschiktheid van de taal van de wiskunde voor het formuleren van de natuurwetten is een prachtig kado dat we niet begrijpen en niet verdienen. We zouden er dankbaar voor moeten zijn en moeten hopen dat het blijft opgaan in toekomstig onderzoek, en dat het zich zal uitstrekken, in voor- en tegenspoed, tot ons genoegen maar misschien ook onze verbijstering, tot brede takken van kennisverwerving.
Eugene Wigner, The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences, 1960.
De afstand tussen gebeurtenissen
In de vorige aflevering van dit feuilleton hebben we gezien dat de Stelling van Pythagoras iets zegt over het begrip afstand. Eerst de afstand tussen punten in het platte vlak, toen de afstand tussen punten in de drie-dimensionale ruimte, en tenslotte de afstand tussen twee gebeurtenissen in de ruimtetijd.
De Gegeneraliseerde Stelling van Pythagoras (GSP) voor ruimtetijd ga ik hier niet herhalen, want dat is een formule, en ik wil het vandaag over de GSP proberen te hebben zonder wiskundige symboliek. De GSP generaliseert het begrip afstand naar ruimtetijd, en converteert tijd naar lengte, en andersom. Hoe lang een seconde is meten we af aan de draaisnelheid van de aarde om haar as, ten opzichte van de zon, dus we zouden kunnen zeggen dat we de seconde aan Galileo te danken hebben. Een aarde-omwenteling duurt vierentwintig uur, een uur telt 60 minuten, een minuut heeft 60 seconden. Die twee keer zestig komt van de Babyloniërs, maar goed, een etmaal telt \(24 \times 60 \times 60 = 86400\) seconden, en daarmee ligt vast hoe lang een seconde duurt. Nu is de draaisnelheid van de aarde om haar as niet helemaal regelmatig, dus inmiddels (sinds 1967) is er een preciezere definitie, in termen van de straling van het caesium-133 atoom. Het hele verhaal daarover is hier te lezen.
De seconde ligt dus stevig vast. Nu de meter nog. Uit de GSP volgt dat we lengte kunnen definiëren in termen van tijd. Dat verklaart de nieuwe (1981) definitie van één meter als de afstand die licht in vacuum aflegt in \(1/299.792.458\) deel van een seconde. Immers, met de seconde ligt ook de lichtseconde vast, dus als we tijd vastgepind hebben we daarmee in feite ook afstand vastgepind. Waar komt dat getal 299.792.458 dan vandaan? Antwoord: dat getal is gekozen om ervoor te zorgen dat we de correcte verhouding krijgen tussen de lichtseconde en de lengte van die staaf platina die nog steeds in Parijs ligt.
Veel dingen zijn relatief. Beweging is relatief. Als Elon Musk met grote snelheid onderweg is van de aarde naar Mars, dan kunnen we daar ook andersom naar kijken, door aan te nemen dat Elon stilstaat en de aarde zich met grote snelheid van hem af beweegt. Wat is trouwens grote snelheid? Aardse ruimteschepen gaan ten opzichte van de snelheid van het licht heel erg langzaam.
Laten we even bijlezen op internet om hier een idee van te krijgen. Info over het Nasa Mars 2020 programma dat het Perseverance karretje op Mars heeft gezet vind je hier. Dit is een waanzinnige website, dus voor mensen die moe worden van het complotfilmpjes bekijken is dit misschien een aardig alternatief. De Nasa website vermeldt dat de Marsraket een afstand van 470.776.457 kilometer heeft moeten afleggen, en dat de trip zo’n zeven maanden heeft geduurd. Hmm, dan hebben ze zeker niet de kortste weg genomen. Even googelen… De afstand tussen de Aarde en Mars was afgelopen oktober, toen de planeet in oppositie stond - dat wil zeggen vanaf de aarde gezien recht tegenover de positie van de zon - ongeveer 62,07 miljoen kilometer. Met de rekenmachine: licht deed er afgelopen oktober dus 207 seconden over om de afstand van hier naar Mars te overbruggen. Dat is 3,45 minuten.
Dit moet geen college natuurkunde worden, want dat kan ik beter aan Robbert Dijkgraaf overlaten. Hoe dan ook, Einstein was de eerste natuurkundige die helder inzag dat hoe we tijd en lengte ervaren afhangt van onze positie. Vaste punten bestaan niet. Absolute tijd bestaat niet. Absolute lengte bestaat niet. Tijd en lengte zijn allebei afhankelijk van het perspectief dat we innemen, en die perspectieven zijn allemaal even waar. De speciale relativiteitstheorie leert ons een belangrijke les over de rol van het perspectief van de waarnemer bij het observeren van de natuurkundige werkelijkheid. Die les is ook voor de filosofie interessant.
Geen wetenschappelijke discipline heeft het hele verhaal
De speciale relativiteitstheorie was niet het laatste woord over ruimtetijd. Daarna kwam de algemene relativiteitstheorie. En wie weet wat er daarna weer komt. In de wetenschap - in tegenstelling tot de pseudo-wetenschap - heeft niemand ooit het laatste woord. Al onze wetenschappelijke kennis is voorlopig. Absolute wetenschappelijke zekerheid bestaat niet, en bekwame onderzoekers beseffen dat. Goede onderzoekers beseffen ook dat hun discipline nooit alles kan vertellen over hoe de werkelijkheid in elkaar zit.
Hier is een illustratie. Upton Sinclair (1878 – 1968) was een Amerikaanse publicist en activist die goed bevriend was met Albert Einstein. Hij is nu een beetje in de vergetelheid geraakt, maar was in zijn tijd zeer beroemd. Sinclair schreef in 1929 een boek over experimenten met telepathie, geholpen door zijn vrouw die over een telepathische gave beschikte. Sinclair vroeg Einstein om een voorwoord bij de Duitse uitgave, en Einstein voldeed aan dat verzoek met de volgende tekst:
Ich habe das Buch von Upton Sinclair mit grossem Interesse gelesen und bin überzeugt, dass dasselbe die ernsteste Beachtung, nicht nur der Laien, sondern auch der Psychologen von Fach verdient. Die Ergebnisse der in diesem Buch sorgfältig und deutlich beschriebenen telepathischen Experimente stehen sicher weit ausserhalb desjenigen, was ein Naturforscher für denkbar hält. Andererseit aber ist es bei einem so gewissenhaften Beobachter und Schriftsteller wie Upton Sinclair ausgeschlossen, dass er eine bewusste Täuschung der Leserwelt anstrebt; seine bona fides und Zuverlässigkeit darf nicht bezweifelt werden. Wenn also etwa die mit grosser Klarheit dargestellten Tatsachen nicht auf Telepathie, sondern etwa auf unbewussten hypnothischen Einflüssen von Person zu Person beruhen sollten, so wäre auch dies von hohem psychologischen Interesse. Keinesfalls also sollten die psychologisch interessierten Kreise an diesem Buch achtlos vorübergehn.
Ik heb het boek van Upton Sinclair met grote belangstelling gelezen en ik ben ervan overtuigd dat het de volle aandacht verdient, niet alleen van leken maar ook van professionele psychologen. De resultaten van de telepatische experimenten die zorgvuldig en duidelijk in dit boek worden beschreven staan beslist ver af van wat een natuuronderzoeker voor denkbaar houdt. Aan de andere kant is het bij een gewetensvolle waarnemer en schrijver als Upton Sinclair uitgesloten dat hij erop uit is zijn lezers om de tuin te leiden; aan zijn goede trouw en betrouwbaarheid hoeft niet te worden getwijfeld. Ook wanneer de feiten die hier zo duidelijk worden vermeld niet op telepathie zouden blijken te berusten maar op onbewuste hypnotische invloeden van de ene persoon op de andere, dan nog zou dit van het grootste psychologische belang zijn. In geen geval zouden psychologisch geïnteresseerde kringen dit boek achteloos terzijde mogen leggen.
Was getekend door Albert Einstein, in 1930. Het boek waar dit op slaat, Mental Radio, is op internet vrij beschikbaar; volgens Einstein is het onze aandacht waard. Ik vind de openheid van geest die Einstein hier demonstreert bewonderenswaardig en inspirerend.