Twijfelen aan de Werkelijkheid (8)
Lezen vanaf het begin? Zie hier.
Wijsheid van de groep? Of dwaasheid?
Laten we het vandaag eens gaan hebben over de deugden en gevaren van het denken in een groep. “Twee weten meer dan één”, in welke situaties geldt dat eigenlijk? Alleen in situaties waar die twee elk een onafhankelijk oordeel hebben over de zaak waar het om gaat.
Sterke staaltjes van de wijsheid van groepen zijn te vinden in een bekend boek van James Surowiecki, The Wisdom of Crowds. De ondertitel van het boek luidt: “Why the Many Are Smarter than the Few” (“Waarom je met velen slimmer bent dan met weinigen”).
Maar kennelijk heeft de schrijver nog een appeltje te schillen met de auteur van een een ander, veel eerder boek waar een tegengestelde conclusie wordt getrokken, namelijk dat de grote menigte eerder geneigd is naar knettergekte dan naar wijsheid. Dat andere boek is Extraordinary Popular Delusions and the Madness of Crowds (“Buitenissige Volksdwaasheden en Kudde-Gekte”) van Charles Mackay, uit 1841.
In dit boek neemt de tulpenmanie - een uitzinnige speculatie met tulpenbollen die volledig uit de hand liep - uit onze Hollandse Gouden Eeuw (1636-37) een prominente plaats in. Interessant genoeg waren de tijden toen vergelijkbaar met nu. De oorlog tegen de Spanjaarden verliep slecht en de builenpest heerste. Nu hebben we het slechte klimaatnieuws, de covid-19 pandemie en de speculatie in bitcoins en andere crypto-valuta.
Groepsdenken kan goed uitpakken
Maar goed, James Surowiecki houdt ons voor dat het groepsdenken ook goed kan uitpakken. Soms weet een groep meer dan de individuen die er deel van uitmaken. Een beroemd voorbeeld is van Sir Francis Galton:
Tijdens de jaarlijkse West-Engelse Vlees en Gevogelte tentoonstelling in Plymouth (Engeland) vond een wedstrijd ‘raad het juiste gewicht’ plaats. Er was een vetgemeste os geselecteerd, en de deelnemers konden gestempelde en genummerde kaarten kopen voor zes pennies per stuk, om daar hun naam en adres op te zetten en hun schatting van wat de os na de slacht zou wegen. Er waren prijzen uitgeloofd voor wie er het dichtst bij zaten. Men was zo vriendelijk de ongeveer 800 kaartjes die waren verkocht aan mij in bruikleen te geven voor mijn onderzoek, nadat ze hun onmiddellijke functie hadden vervuld.
Tot Galton’s verbazing zat het gemiddelde van alle schattingen op de kaartjes maar een paar pond boven het echte gewicht van de geslachte os. Dit (door mij vertaalde) citaat komt uit een artikel met de titel Vox Populi (“De stem des volks”), een titel die ongetwijfeld ironisch was bedoeld.
Om tot verstandige conclusies te kunnen komen is het belangrijk dat de leden van een groep onafhankelijk van elkaar tot hun oordeel komen. De wedstrijd van Galton is daar een goed voorbeeld van. De deelnemers zijn boeren en buitenlui die elk het een en ander weten over hoeveel een vetgemeste os weegt en wat het verschil is tussen gewicht “op de hoef” en gewicht na de slacht. Als er genoeg terzake kundige deelnemers zijn compenseren hun overschattingen en onderschattingen elkaar.
De Jury stelling van Condorcet
Hier bestaat zelfs een wiskundige stelling over, de Jury Stelling van Condorcet. Een groep met een oneven aantal leden wil een besluit nemen met meerderheid van stemmen. Het gaat om een ja/nee vraag met een goed en een fout antwoord. Het goede antwoord is het antwoord dat strookt met de werkelijkheid. De werkelijkheid, daar hebben we het weer. Het foute antwoord is het antwoord dat in strijd is met hoe het echt zit. Een goed voorbeeld is de vraag “Heeft deze man de moord gepleegd of niet?” Condorcet liet zien dat onder bepaalde, zeer specifieke omstandigheden, het naarmate de groep groter is steeds waarschijnlijker wordt dat de meerderheid tot het juiste oordeel komt.
Nicolas de Condorcet (1743 – 1794) was een Franse markies, filosoof en wiskundige met zeer verlichte ideeën. Zo ijverde hij voor gelijke rechten voor vrouwen en voor alle rassen. Aanvankelijk deed hij enthousiast mee aan de Franse revolutie, maar toen het fanatisme van de revolutionairen de overhand kreeg werd hij steeds kritischer. Hij sprak zich bij voorbeeld uit tegen het doodvonnis voor Lodewijk de Zestiende, maar dat werd zoals we allemaal weten toch uitgevoerd. Later keerde hij zich tegen een nieuwe grondwet van de revolutionairen, waar volgens hem geen hout van deugde. Dat werd hem niet in dank afgenomen. Hij moest onderduiken maar werd uiteindelijk toch gearresteerd, en hij stierf in de gevangenis onder mysterieuze omstandigheden. Dat hij een zeer bijzondere man was staat wel vast.
De stelling en het bewijs
Terug naar de stelling. (Maar je mag dit blokje overslaan als je opziet tegen een klein beetje wiskunde.)
Nogmaals, het gaat om het vellen van een oordeel over een ja/nee vraag met een goed en een verkeerd antwoord. Iedereen in de groep moet zich voor of tegen uitspreken. We nemen aan dat het aantal juryleden oneven is, zodat de stemmen niet kunnen staken, maar dat is een detail.
Als we aannemen dat de kans dat een individueel lid van de jury het goede antwoord geeft meer is dan een half, dan geldt het volgende. Hoe meer juryleden er meedoen in een groep met een oneven aantal leden hoe groter de kans wordt dat het juiste antwoord de meerderheid van de stemmen gaat krijgen.
De stelling geldt ook nog als de groepen even mogen zijn en we bij staken van de stemmen de knoop doorhakken door een muntje op te gooien. Maar we beperken ons hier tot het eenvoudigste geval, met een oneven aantal juryleden.
Hier is het bewijs. Laat p de kans zijn dat een individueel jurylid het goede antwoord geeft. Kansen zijn breuken tussen \(0\) en \(1\). Denk bij kans \(1/2\) aan “vijftig procent kans”. We nemen dus aan dat p groter is dan \(1/2\). Neem aan dat een oneven aantal juryleden gestemd heeft. Stel nu dat er twee stemgerechtigden bij komen. Dan zijn er maar twee mogelijke gevallen waar dit er toe doet:
als ze de meerderheid veranderen van incorrect naar correct
als ze de meerderheid veranderen van correct naar incorrect.
Laten we de waarschijnlijkheden van deze twee gevallen berekenen. In geval 1 was de meerderheid incorrect met slechts één stem verschil. Neem aan dat de laatste stem de doorslag gaf. Die stem was dus tegen. De kans hierop is \(1-p\). Om de uitslag te veranderen moeten de twee nieuwe stemmers allebei voor stemmen. De kans hierop is \(p^2\). Totale kans van deze gang van zaken is dus \((1-p)p^2\).
In geval 2 was de meerderheid correct met slechts één stem verschil. Neem weer aan dat de laatste stem de doorslag gaf. Dat was dus een stem voor. De kans hierop is \(p\). Om de uitslag te veranderen moeten de twee nieuwe stemmers allebei tegen stemmen. De kans hierop is \((1-p)^2\). Totale kans van deze gang van zaken is dus \(p (1-p)^2\).
Ga na dat uit het feit dat \(p\) groter is dan \(1/2\) volgt dat \((1-p)p^2\) groter is dan \(p (1-p)^2\). De kans dat de twee nieuwe juryleden de zaak ten goede keren is dus groter dan de kans dat ze de zaak bederven. Daarmee is de stelling bewezen.
Informatie cascades
Een situatie waarin mensen iets geloven omdat anderen het ook geloven wordt wel een informatie cascade genoemd. Een spectaculair voorbeeld hiervan, maar dan bij dieren, werd gemeld door de Amerikaanse natuurvorser en avonturier William Beebe. Dit voorbeeld komt weer uit het boek van Surowiecki. Beebe was onderzoek aan het doen naar het gedrag van strijdmieren. Hij ontdekte dat die mieren een simpele regel volgen wanneer ze de weg kwijt dreigen te raken: “Volg de mier voor je!” In Guyana stuitte hij een keer op een grote groep strijdmieren die rond trok in een enorme cirkel, met een omtrek van zo’n vierhonderd meter. Elke mier deed er twee en een half uur over om een volledig rondje te lopen. De mieren bleven twee dagen lang rondjes lopen totdat ze uiteindelijk allemaal dood neervielen.
Informatie cascades in het lab
Je kunt zo’n informatie cascade gemakkelijk in een laboratorium situatie nabootsen, bij voorbeeld als volgt. Neem twee urnen A en B, en vul ze elk met zwarte en witte knikkers, zo dat urn A twee keer zoveel zwarte knikkers heeft als witte en urn B twee keer zoveel witte knikkers als zwarte. Maak bekend dat één van deze twee urnen in een kamer staat en dat de proefpersonen moeten raden welke urn het is. Laat je proefpersonen nu één voor één binnenkomen. Iedereen haalt zonder te kijken een knikker uit de urn, inspecteert de kleur, en gooit de knikker terug. De persoon moet vervolgens gokken of de knikker uit urn A of uit urn B komt en zijn gok noteren op een vel papier, zo dat de volgende proefpersoon de lijst van de eerdere gissingen kan zien. Probeer je nu voor te stellen wat er gebeurt…
Dit kan gemakkelijk fout lopen als jij als eerste proefpersoon een witte steen trekt uit urn A. Je raadt B, en dat is inderdaad een redelijke gok. Daarna kom ik. Ik trek een zwarte steen. Maar ik zie ook dat jij B hebt gegokt. Dus ik concludeer dat jouw steen wit moet zijn geweest. Dat is een wit tegen een zwart. Dat maakt A en B allebei even waarschijnlijk. Dus gooi ik een muntje op, en ik noteer B. Nu komt de derde persoon binnen. Ze trekt zwart maar ze ziet BB. Ze weegt dit af tegen haar eigen ervaring, en … noteert B. Enzovoorts. Niemand gedraagt zich onredelijk, en toch trekt iedereen de verkeerde conclusie. Verkeerd betekent: niet in overeenstemming met de werkelijkheid, want in werkelijkheid komen de steentjes uit urn A.
De reden waarom het fout loopt is dat hier de oordelen genoteerd worden in plaats van de ervaringsfeiten. De ervaringsfeiten zijn gebaseerd op de werkelijkheid. De ervaringsfeiten in het voorbeeld zijn Wit, Zwart, Zwart, … Als deze ervaringsfeiten genoteerd worden in plaats van de oordelen dan kunnen de proefpersonen leren van de ervaring van anderen. En dan wordt het als de reeks groeit steeds duidelijker dat de stenen allemaal uit urn A komen.
De Amerikaanse Senaat
De vraag “Schuldig of Onschuldig?” was ook de vraag die in de Tweede Impeachment van Donald Trump aan de orde was. Ook hier was er een juist antwoord. Maar uit het feit dat we aan het begin van het proces de uitkomst al konden voorspellen (“Er is geen twee-derde meerderheid in de Senaat die Trump schuldig gaat verklaren”) volgt meteen dat de Amerikaanse Senaat in deze situatie niet functioneerde als een jury in de zin van Condorcet.
Het was overduidelijk dat het bij dit proces niet ging om waarheidsvinding en om het vellen van een oordeel dat in overeenstemming was met de werkelijkheid. Heather Cox Richardson zegt het zo:
Trump’s lawyers proceeded in the impeachment trial with the same rhetorical technique Trump and his supporters use: they flat-out lied. Clearly, they were not trying to get at the truth but were instead trying to create sound bites for right-wing media, the same way Trump and the rest of his cabal convinced supporters of the big lie that he had won, rather than lost, the 2020 election.
De advocaten van Trump pasten in het impeachment proces dezelfde rhetorische techniek toe die Trump en zijn volgelingen gebruiken: keihard liegen. Het was duidelijk dat ze er niet op uit waren om de waarheid aan het licht te brengen maar dat ze in plaats daarvan bezig waren soundbites te creëren voor de rechtse media, op de manier waarop Trump en de rest van zijn kliek supporters overtuigden van de grote leugen dat hij de verkiezingen van 2020 gewonnen had in plaats van verloren.
We kunnen alleen maar gissen wat 43 Republikeinse senatoren ertoe bracht om mee te gaan met deze leugen en tegen impeachment te stemmen. Angst dat Trump naar buiten komt met belastend materiaal waar hij hen mee chanteert? Angst dat Trump’s Proud Boys geweld gaan gebruiken tegen hen en hun familie? Angst voor de Republikeinse achterban in hun eigen staat die in meerderheid nog steeds rabiaat pro-Trump is? Of misschien, heel misschien, omdat ze de Trumpiaanse leugen over de verkiezingen zelf zijn gaan geloven? Als je de leugen eenmaal vrij spel hebt gegeven is het kennelijk erg moeilijk nog op je schreden terug te keren. Ik geef Heather Cox Richardson vandaag het laatste woord.
It was disheartening today to see that even trying to destroy the American government was not enough to get more than seven Republican senators to convict the former president. But it is not at all clear that tying their party to Trump is a winning strategy.
Het was deprimerend vandaag om te zien dat zelfs een poging om de Amerikaanse regering naar de vernieling te helpen niet genoeg was om meer dan zeven Republikeinse senatoren ertoe te brengen om de oud-president te veroordelen. Maar het is totaal niet duidelijk dat hun partij aan Trump binden een winnende strategie is.
Heather Cox Richardson, Letters from an American, February 13, 2021.
Naschrift: Thomas Meijer wees me op een boek van Anne Goldgar, Tulipmania: Money Honor and Knowledge in the Dutch Golden Age, waarin wordt duidelijk gemaakt dat Mackay in zijn beschrijving van de tulpenbollen-speculatie het een en ander heeft overdreven. De speculatie in de winter van 1636-37 was er echt, maar lang niet zo omvangrijk als Mackay ons wil laten geloven. Ook de rampspoed toen het uit de hand liep viel nogal mee. En de handel in tulpen is gebleven. Het boek van Goldgar wordt trouwens genoemd in het uitstekende Wikipedia lemma over de tulpenmanie. Dit is een boek dat ik ga lezen.